Número Aureo 1,618033988749894848204


La sección áurea, en matemáticas, es una proporción de la geometría que se obtiene al dividir un segmento en dos partes de manera que el cociente entre la longitud del segmento mayor y la longitud del segmento inicial es igual al cociente entre la longitud del segmento menor y la del segmento mayor.

El punto C crea una sección áurea en el segmento rectilíneo AB si AC/AB = CB/AC. Esta proporción tiene el valor numérico 0,618…, que se puede calcular de la siguiente manera: si AB = 1 y la longitud de AC = x, entonces AC/AB = CB/AC se convierte en x/1 = (1 – x)/x. Multiplicando ambos lados de esta ecuación por x, se tiene que x2 = 1 – x; y por tanto x2 + x – 1 = 0. Esta ecuación de segundo grado se puede resolver utilizando la fórmula cuadrática, que da x = (-1 + Ä)/2 = 0,6180339…

Ciertos historiadores afirman que las propiedades de las secciones áureas ayudaron a los discípulos del matemático y filósofo griego Pitágoras a descubrir las rectas inconmensurables, que son el equivalente geométrico de los números irracionales. Sin embargo, lo que sí es cierto es que desde la antigüedad, muchos filósofos, artistas y matemáticos se han interesado por la sección áurea, que los escritores del renacimiento llamaron proporción divina.

Leonardo Da Vinci hizo las ilustraciones para una disertación publicada por Luca Pacioli en 1509 titulada De Divina Proportione , quizás la referencia más temprana en la literatura a otro de sus nombres, el de “Divina Proporción”. Este libro contiene los dibujos hechos por Leonardo da Vinci de los cinco sólidos platónicos. Es probable que fuera Leonardo quien diera por primera vez el nombre de sectio áurea . En 1525, Alberto Durero publica Instrucción sobre la medida con regla y compás de figuras planas y sólidas donde describe cómo trazar con regla y compás la espiral basada en la sección áurea, que se conoce como “espiral de Durero”.

Espiral construida utilizando rectángulos con la proporción áurea. Resulta una aproximación a la espiral logarítmica.

El Partenón, mostrando los rectángulos áureos usados posiblemente en su construcción.

El número áureo o la proporción áurea se estudió desde la antigüedad, ya que aparece regularmente en geometría. Se conoce ya de su existencia en los pentágonos regulares y pentáculos de las tabletas sumerias de alrededor del 3200 a. C.

En la antigua Grecia se utilizó para establecer las proporciones de los templos, tanto en su planta como en sus fachadas. Por aquel entonces no recibía ningún nombre especial, ya que era algo tan familiar entre los antiguos griegos que “la división de un segmento en media extrema y razón” era conocido generalmente como “la sección”. En el Partenón, Fidias también lo aplicó en la composición de las esculturas. (la denominación Fi, por ser la primera letra de su nombre, la efectuó en 1900 el matemático Mark Barr en su honor).El Partenón, mostrando los rectángulos áureos usados posiblemente en su construcción.Platón (circa 428-347 a. C.), consideró la sección áurea como la mejor de todas las relaciones matemáticas y la llave a la física del cosmos.

La sección áurea se usó mucho en el Renacimiento, particularmente en las artes plásticas y la arquitectura. Se consideraba la proporción perfecta entre los lados de un rectángulo.



La primera vez que me llamó la atención este tema fué al leer el Codigo Da Vinci de Dan Brown, en el los personajes Sophie Neveu y Robert Langdon hablan sobre la Sección Aurea a raíz de la secuencia de números que les dejó el abuelo de ella como pista. Es un asunto sobre el que Robert ha dado clase a sus estudiantes de Harvard, donde trabaja.
Conocida con la letra griega phi (0), la Sección Áurea es un número irracional (es decir, aquel que no puede ser expresado como razón o fracción de dos números enteros) con varias propiedades curiosas. Se puede definir como el número que es igual a su recíproco más uno: c l ) = + 1, con un valor expresado por lo común como 1,618033989.
Sus dígitos, que fueron calculados hasta diez millones de decimales en 1996, nunca se repiten. Se relaciona con los números de Fibonacci (véase entrada) en que si se divide entre sí dos números consecutivos de la secuencia de Fibonacci, el resultado es siempre una aproximación a phi.

También conocido como la Divina Proporción, la Media Aurea o la Proporción Áurea, este ratio se encuentra con sorprendente frecuencia en las estructuras naturales así como
en el arte y la arquitectura hechos por el hombre, en los que se considera agradable la proporción entre longitud y anchura de aproximadamente 1,618. Sus extrañas propiedades son la causa de que la Sección Áurea haya sido considerada históricamente como divina en sus composiciones e infinita en sus significados.
Sin duda alguna, es cierto que la armonía se puede expresar mediante cifras, tanto en espacios pictóricos o arquitectónicos, como en el reino de la música o, cómo no, en la naturaleza.

La armonía de la Sección Áurea o Divina Proporción se revela de forma natural en muchos lugares. En el cuerpo humano, los ventrículos del corazón recuperan su posición de partida en el punto del ciclo rítmico cardiaco equivalente a la Sección Áurea. El rostro humano incorpora este ratio a sus proporciones. Si se divide el grado de inclinación de una espiral de ADN o de la concha de un molusco por sus respectivos diámetros, se obtiene la Sección Áurea. Y si se mira la forma en que crecen las hojas en la rama de una planta, se puede ver que cada una crece en un ángulo diferente respecto a la de debajo. El ángulo más común entre hojas sucesivas está directamente relacionado con la Sección Aurea.

En arte y arquitectura, también se han usado con extraordinarios resultados las famosas propiedades armoniosas de la Sección Áurea. Las dimensiones de la Cámara Real de la Gran Pirámide se basan en la Sección Áurea; el arquitecto Le Corbusier diseñó su sistema « Modulor» basándose en la utilización de la proporción; el pintor Mondrian basó la mayoría de sus obras en la Sección Áurea; Leonardo la incluyó en muchas de sus pinturas y Claude Debussy se sirvió de sus propiedades en su música.

Durante varios siglos, las interrogantes sin respuesta acerca de la obra de Leonardo han ido creciendo, creando pasiones en muchos autores e investigadores. Pese a la gran cantidad de preguntas, las respuestas a las mismas no suelen ser del todo convincentes, dejando abierto el debate. Especialmente durante los s. XIX y XX, las teorías acerca del origen de la modelo, la expresión de su rostro, la inspiración del autor y otras tantas, han tomado gran protagonismo y obligan a un análisis histórico y científico .

La Sección Áurea también surge en algunos lugares inverosímiles: los televisores de pantalla ancha, las postales, las tarjetas de crédito y las fotografías se ajustan por lo común a sus proporciones. Y se han llevado a cabo muchos experimentos para probar que las proporciones de los rostros de las top models se adecuan más estrechamente a la Sección Áurea que las del resto de la población, lo cual supuestamente explica por qué las encontramos bellas. Luca Pacioli, un amigo de Leonardo da Vinci al que conoció mientras trabajaba en la corte de Ludovico Sforza, duque de Milán, escribió un tratado crucial sobre la Sección Áurea, titulado De divina proportione. En este libro, Pacioli intenta explicar el significado de la Divina Proporción de una forma lógica y científica, aunque lo que él creía era que su esquiva cualidad reflejaba el misterio de Dios. Esta y otras
obras de Pacioli parece que influyeron profundamente a Leonardo, y ambos se convirtieron en amigos inquebrantables, trabajando incluso juntos sobre problemas matemáticos. El uso de la Sección Áurea es evidente en las obras principales de Leonardo, quien mostró durante mucho tiempo un gran interés por las matemáticas del arte y de la naturaleza. Como el brillante Pitágoras antes que él, Leonardo hizo un estudio en profundidad de la figura humana, demostrando que todas las partes fundamentales guardaban relación con la Sección Áurea.

Se ha dicho que la gran pintura inacabada de Leonardo, San Jerónimo, que muestra al santo con un león a sus pies, fue pintada en un intencionado estilo para asegurarse de que un rectángulo dorado (véase entrada) encajara perfectamente alrededor de la figura central. Dada la afición de Leonardo por la «geometría recreativa», esto parece una suposición razonable. También el rostro de la Mona Lisa encierra un rectángulo dorado perfecto. Después de Leonardo, artistas como Rafael y Miguel Angel hicieron un gran uso de la Sección Áurea para construir sus obras. La impresionante escultura de Miguel Ángel David se ajusta en varios sentidos a la Sección Áurea, desde la situación del ombligo con respecto a la altura, hasta la colocación de las articulaciones de los dedos.

Los constructores de las iglesias medievales y góticas y de las catedrales europeas también erigieron estas asombrosas estructuras para adaptarse a la Sección Áurea. En este sentido, Dios realmente estaba en los números. ligase también: Secuencia de Fibonacci; Rectángulo Dorado.

Secuencia de Fibonacci

Tambien en el Código Da Vinci en el suelo del lugar donde se encuentra el cuerpo de Jacques Sauniere al comienzo del libro hay escritos algunos números. Sophie, su nieta, reconoce la secuencia numérica y la interpreta como una señal de su abuelo, aunque lleva su tiempo que emerja su completa significación. Una vez que ella tiene la llave de la caja de depósitos del banco y comprende que necesita un número de cuenta para tener acceso a ella, las cifras se ordenan ascendentemente para darle la solución.
La secuencia de Fibonacci es una secuencia infinita de números, que comienza por: 1. 1, 2, 3, 5, cada uno de ellos es la suma de los dos que le preceden.

Así:
1+1=2,1+2=3,2+3=5,3+5=8,5+8= 13, y así sucesivamente.

Para cualquier valor mayor que 3 contenido en la secuencia, la proporción entre cualesquiera dos números consecutivos es 1: 1,618, o Sección Áurea. Por lo tanto tambien está relacionado con todo lo que venimos comentando anteriormente.

La secuencia de Fibonacci se puede encontrar en la naturaleza, en la que la flor del girasol, por ejemplo, tiene veintiuna espirales que van en una dirección y treinta y cuatro que van en la otra; ambos son números consecutivos de Fibonacci. La parte externa de una piña piñonera tiene espirales que van en sentido de las manecillas del reloj y otras que lo hacen en sentido contrario, y la proporción entre el número de unas y otras espirales tiene valores secuenciales de Fibonacci. En las elegantes curvas de una concha de nautilus, cada nueva circunvolución completa cumplirá una proporción de 1: 1,618, si se compara con la distancia desde el centro de la espiral precedente.

Leonardo Fibonacci nació en Pisa, Italia, en 1170. Creció y fue educado en Bugia, norte de Africa (hoy llamada Bejaia, en Argelia), desde donde regresó a Pisa alrededor del año 1200. Fibonacci fue sin duda influido y posiblemente enseñado por matemáticos árabes durante este su periodo más formativo. Escribió muchos textos matemáticos e hizo algunos descubrimientos matemáticos significativos, lo que ayudó a que sus trabajos fueran muy populares en Italia y a que le prestara atención el Sacro Emperador Romano del momento, Federico II, quien lo invitó a su corte de Pisa. Fibonacci murió en 1250.

Los ocho números que necesitas conocer para saberlo todo sobre las matemáticas


El Confidencial

Todos los números se derivan de tan sólo unos pocos que debemos conocer en profundidad. (iStock)

Todos los números se derivan de tan sólo unos pocos que debemos conocer en profundidad.

Existe una cantidad infinita de números, aunque en nuestra vida diaria tan sólo utilizamos un número muy limitado de ellos, lo que hace que nos olvidemos de muchos, como es el caso de los irracionales, no digamos ya los complejos. Quizá, de ser de ciencias, los habremos estudiado en algún momento, pero es posible que no recordamos muy bien su utilidad. Algunos nos sonarán a chino, pero todos ellos tienen su lugar en las matemáticas, la geometría y el cálculo.

Ahora que el curso escolar acaba de comenzar, quizá no venga mal repasar ese conocimiento olvidado o refrescar conceptos. Un reciente artículo publicado en Bussiness Insider recogía de forma bastante didáctica ocho números a partir de los cuales se puede entender el resto. Basta con pensar en una línea en la que se sitúan todos los números para tener claro su lugar. ¿Cuáles son esas ocho cifras que se encuentran en la base de todas nuestras operaciones?

0

“Número que expresa una cantidad nula, nada, ninguno”, afirma la RAE. El hombre no siempre estuvo familiarizado con el cero, el número que se encuentra entre el -1 y el 1 entre los números enteros. Apareció por primera vez en Babilonia en el III a.C., y también fue utilizado por los mayas, al otro lado del Atlántico. Es considerada la identidad aditiva, puesto que cualquier número sumado a cero da como resultado el mismo número, y se sitúa en el centro de la línea imaginaria de los números, separando los positivos de los negativos. Además, la cifra “0” nos ayuda a abreviar las decenas, centenas, etc., una función que adquirió por primera vez en la civilización india. Concretamente, hacia el 810, cuando el matemático y astrónomo persa Al-Juarismi utilizó una forma redondeada para la décima figura en el sistema decimal.

1

Se puede representar como el cociente de cualquier número entre sí mismo (con la excepción de cero). Se trata de la identidad multiplicativa, puesto que cualquier número multiplicado por uno da como resultado el mismo número. A partir de él se construye la lista de los números naturales, es decir, los números que se utilizan para contar los elementos de un conjunto (1, 2, 3, 4, 5…). Aún no hay unanimidad sobre si considerar el 0 un número natural o no, puesto que se puede tratar como la ausencia de todo elemento. Son los números con los que más familiarizados nos encontramos.

-1

Empezamos a sumergirnos en aguas procelosas, en cuanto que nos apartamos de nuestra realidad cotidiana. ¿Qué ocurre cuando realizamos una sustracción como 4 – 9, que no proporciona un número natural? Para eso existen los números enteros, en los que se incluyen tanto los naturales como los negativos naturales o el cero. Cualquier cifra multiplicada por -1 proporciona el mismo número en negativo: es decir, 4 x -1 = -4. Los números negativos suelen emplearse tanto para representar diferentes grados en una escala (como son los grados bajo cero o los metros bajo el nivel del mar) como para expresar un déficit.

1/10

Llegan las fracciones. Muchas veces, al dividir dos números enteros entre sí, obtenemos un resultado que no puede ser expresado como un número entero, sino que ha de recurrirse a los decimales. Al añadir la fracción 1/10 o 0,1, ampliamos sensiblemente el campo de batalla y podemos representar, por ejemplo, el resultado de 8/5, es decir, 1,6. Los números racionales son todos aquellos que pueden representarse como el cociente de un entero y un racional positivo.

Imagen de 'Pi', ópera prima de Darren Aronofsky.

Imagen de ‘Pi’, ópera prima de Darren Aronofsky.

Raíz cuadrada de 2 

También conocido para los amigos como 1,41421356237… y un número infinito de cifras que, para complicarlo todo más, no mantienen un patrón fijo, como sí podría hacerlo un número periódico puro (0,333333…) o un número periódico fijo (0,074074074…). Nos adentramos en el mundo de los números irracionales, es decir, aquellos que no pueden ser representados como una fracción de números enteros. La raíz cuadrada de un número es la cifra que, multiplicada por sí misma, da lugar al número original; por ejemplo, la raíz cuadrada de 9 sería 3, puesto que 3 x 3 = 9; sin embargo, la mayor parte de raíces cuadradas son números irracionales, como esta.

Pi / π

El viejo amigo 3,14159265359…, que se obtiene de la relación entre una circunferencia y su diámetro, según la geometría euclidiana. El matemático griego Euclides fue el primero en hallar dicha relación en el siglo III a.C. Se encuentra en la base de la geometría, puesto que es una de las constantes matemáticas más importantes, y se considera también un número irracional y trascendente, puesto que no es raíz de ninguna ecuación algebraica con coeficientes enteros. Gracias a los modernos ordenadores, se ha conseguido desentrañar un trillón de los decimales del número pi que, además, da nombre al primer largometraje de Darren Aronosfky, que tenía un revelador subtítulo: “orden en el caos”.

Número e

La constante de Napier o número Euler fue introducido por el escocés John Napier, el primero en utilizar el concepto de logaritmo. Es el 2,718281828459045…, considerado como el número por excelencia del cálculo y fundamental para trabajar con funciones exponenciales. Al igual que pi, es un número irracional y trascendente. Puede describir acontecimientos físicos regidos por leyes sencillas, como el vaciado de un sumidero o una veleta movida por el viento, pero también el valor del interés compuesto continuo que se utiliza en préstamos e inversiones.

Número i (raíz cuadrada de -1)

Puesto que la multiplicación de cualquier número por sí mismo da lugar siempre a un número positivo, ¿cómo podemos hablar de raíz cuadrada de -1? Ahí está la gracia. Para ello tenemos que recurrir a los números imaginarios, números complejos cuya parte real es igual a 0, y que con letras como “i” sirven para representar en una ecuación esos números que no pueden resolverse. Si el resto de cifras se pueden localizar en una línea, los números complejos deberían reflejarse en un eje conformado por su parte real en la horizontal y la imaginaria en la vertical.